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并查集

并查集: 1.将两个集合合并

2.询问两个元素是否在一个集合当中

基本原理:每个集合用一棵树来表示。树根的编号就是整个集合的编号。每个节点存储它的父节点，f[x]表示x的父节点

问题1：如何判断树根: if (f[x] == x)

问题2：如何求x的集合编号: while (f[x] != x) x = f[x];

问题3：如何合并两个集合: f[x] 是 x 的集合编号，f[y] 是 y 的集合编号。=> f[x]= y

时间复杂度分析

优化	平均时间复杂度	最坏时间复杂度
无优化	$O(log\ n)$	$O(n)$
路径压缩	$O(α(n))$	$O(log\ n)$
按秩合并	$O(log\ n)$	$O(log\ n)$
路径压缩 + 按秩合并	$O(α(n))$	$O(α(n))$

$α$ 表示阿克曼函数的反函数，在宇宙可观测的 $n$ 内（例如宇宙中包含的粒子总数），$α(n)$ 不会超过 5。一般将 $α(n)$ 看作常数。

直接认为反阿克曼函数α(n)的一个比logn还小的系数就行，一般算法竞赛中α(n)认为是一个小于等于5的系数。

(1)朴素并查集：	
    int f[N]; //存储每个点的祖宗节点

    // ① 返回x的祖宗节点（无路径压缩）
    int Find(int x){
        if(f[x]==x) return x;
        else return Find(f[x]);
    }

    // ② 返回x的祖宗节点（有路径压缩）
    int find(int x)
    {
        if (f[x] != x) f[x] = find(f[x]);
        return f[x];
    }

    // 初始化，假定节点编号是1~n
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) f[i] = i; 
    // 合并a和b所在的两个集合：！！！注意这里的合并  合并的不是改变当前节点a、b，而是将a、b所在集合的代表元素（根节点）进行合并
    f[find(a)] = find(b);

(2)维护size的并查集：

    int f[N], size[N];
    //f[]存储每个点的祖宗节点, size[]只有祖宗节点的有意义，表示祖宗节点所在集合中的点的数量

    // 返回x的祖宗节点
    int find(int x)
    {
        if (f[x] != x) f[x] = find(f[x]);
        return f[x];
    }

    // 初始化，假定节点编号是1~n
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        f[i] = i;
        size[i] = 1;
    }

    // 合并a和b所在的两个集合：先计算个数再对祖先赋值
    size[find(b)] += size[find(a)];
    f[find(a)] = find(b);


(3)维护到祖宗节点距离的并查集：

    int f[N], d[N];
    //f[]存储每个点的祖宗节点, d[x]存储x到f[x]的距离 即x到祖宗节点的距离

    // 返回x的祖宗节点
    int find(int x)
    {
        if (f[x] != x)
        {
            int u = find(f[x]);
            d[x] += d[f[x]];
            f[x] = u;
        }
        return f[x];
    }

    // 初始化，假定节点编号是1~n
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        f[i] = i;
        d[i] = 0;
    }

    // 合并a和b所在的两个集合：
    f[find(a)] = find(b);
    d[find(a)] = distance; // 根据具体问题，初始化find(a)的偏移量